Há uma novidade resposta para o problema matemático “mais macróbio de sempre”

Naquele que é um dos problemas matemáticos mais antigos do mundo, relacionado com frações, o investigador Thomas Bloom propôs uma novidade resposta.

“Pode ser o problema mais macróbio de todos os tempos”, disse Carl Pomerance, da Dartmouth College, referindo-se ao problema que data do Macróbio Egito.

A questão envolve frações que apresentam um 1 no seu numerador, porquê 1⁄2, 1⁄7 ou 1⁄122. Leste tipo de frações era muito importante porque eram as únicos que o seu sistema numérico continha, à exceção de 2/3.

Nos anos 70, Paul Erdős e Ronald Graham perguntaram o quão difícil poderia ser projetar conjuntos de números inteiros que não continham um subconjunto cujos recíprocos somam 1.

Por exemplo, o conjunto {2, 3, 6, 9, 13} não funciona, porque contém o subconjunto {2, 3, 6}, cujos recíprocos são as frações 1⁄2, 1⁄3 e 1⁄6 — que somam 1, explica a Wired.

Erdős e Graham conjeturaram que qualquer conjunto que mostre alguma proporção positiva e suficientemente grande dos números inteiros deve moderar um subconjunto cujos recíprocos somem 1.

Se o conjunto inicial satisfizer esta requisito, mesmo que os seus membros tenham sido escolhidos deliberadamente para tornar mais difícil encontrar esse subconjunto, o subconjunto teria que viver.

A solução oferecida por Bloom começou quando foi convidado a apresentar um cláusula científico, publicado há 20 anos, por Ernie Croot. O matemático resolveu a chamada versão colorida do problema de Erdős-Graham.

Nesta dimensão do problema, os números inteiros são ordenados aleatoriamente em diferentes baldes divididos por cores. Erdős e Graham previram que não importa quantos baldes diferentes haja, pelo menos um balde deve moderar um subconjunto de números inteiros cujos recíprocos somam 1.

Croot conseguiu confirmar a previsão feita por Erdős e Graham, mas o seu cláusula não conseguiu responder à versão de densidade da conjetura de Erdős-Graham.

Croot provou que se um conjunto tem números suficientes com muitos fatores primos relativamente pequenos, deve sempre moderar um subconjunto cujos recíprocos somam 1.

No entanto, a solução de Croot é conseguida ao escolher o balde a dedo. A resposta pode não ser tão fácil de encontrar se o balde for aleatório. Mas foi logo que apareceu Bloom.

“Eu pensei, espera, o método de Croot é realmente mais possante do que parecia à primeira vista”, disse o responsável do novo cláusula.

Bloom adaptou a estratégia de Croot para que funcionasse para números com grandes fatores primos.

Enquanto Croot desconsiderou números inteiros com grandes fatores primos para provar que esses termos eram pequenos o suficiente, o método de Bloom deu mais margem de manobra para mourejar com números que poderiam valer problemas para a soma exponencial. Porém, Bloom provou que havia relativamente poucas ocasiões onde isso acontecia.

Em vez de caçar conjuntos de números cujos recíprocos somam 1, Bloom procurou conjuntos com recíprocos que somam frações constituintes mais pequenas. Depois, usou-os porquê blocos de construção para chegar ao resultado desejado.